dullwhaleのメモ帳

何度も同じことを調べなくてよいように...

アーラン分布

待ち行列理論では指数分布を仮定できると都合が良いが、現実のデータは指数分布よりもアーラン分布によく適合することがある。 指数分布ではx = 0で値が最大となるが、アーラン分布では0から少し離れたx > 0の時点で値が最大になる。

確率密度関数

 f(x) = \frac{\lambda k(\lambda k x)^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda k x}
  • 連続確率分布
  • 期待値は \frac{1}{\lambda}
  • 分散は \frac{1}{k \lambda ^ 2}

アーラン分布のパラメータ表示

アーラン分布はshapeパラメータとscaleパラメータで表されることもある。 shapeパラメータは上の式でkに該当する。 scaleパラメータは上の式で \frac{1}{\lambda}に該当する。

scaleパラメータに必要な \lambdaの求め方。

  1. 標本平均の度数の合計を1に正規化する。 つまり度数の合計を先に集計し、元の各度数を合計値で割って0.01、0.2、...のような正規化された値を出しておく。
  2. 正規化された度数の平均を求める。

shapeパラメータkの求め方。 分散にkが含まれていることを利用して求める。

  1. 標本平均の度数の合計を1に正規化する。
  2. 正規化された度数の分散を求める。
  3. \frac{1}{\text{var}\ \times\ \text{avg} ^ 2}を求める。だたし、kは1以上の自然数であることに注意せよ。